Pirminiai skaičiai

Pirminiai skaičiai atrasti jau labai senai. Senovės mokslininkai sugalvojo būdą, kaip juos išskirti, tiksliau kaip nesudėtingai juos surasti. Šiuos skaičius naudojame iki šiol.

Tikslus apibrėžimas:

Pirminis skaičius – bet kuris natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, kuris dalijasi tik iš savęs ir iš vieneto.

Prisiminkite, kad skaičius 1 nėra laikomas nei pirminiu, nei sudėtiniu skaičiumi. Todėl pats pirmasis pirminis skaičius yra 2.

Keletas skaičių, kad būtų aiškiau:

Skaičius 2. Dalijasi tik iš savęs ir iš vieneto, t. y. iš 2 ir iš 1;
Skaičius 3. Dalijasi tik iš savęs ir iš vieneto, t. y. iš 3 ir iš 1;
Skaičius 4. Dalijasi ne tik iš savęs ir iš vieneto, t. y. iš 4 ir iš 1, tačiau ir iš 2, todėl skaičius 4 jau nelaikomas pirminiu skaičiumi;
Skaičius 5. Dalijasi tik iš savęs ir iš vieneto, t. y. iš 5 ir iš 1;
Skaičius 6. Dalijasi ne tik iš savęs ir iš vieneto, t. y. iš 6 ir iš 1, tačiau ir iš 2, ir iš 3, todėl skaičius 6 nelaikomas pirminiu skaičiumi;
Skaičius 7. Dalijasi tik iš savęs ir iš vieneto, t. y. iš 7 ir iš 1;
Ir t.t.

Patogus paveikslėlis, kur aiškiai pateikta pirminių skaičių teorija: Pirminiai skaičiai

Pasidarykime lentelę, kur surašysime visus pirminius skaičius iki 1000:

Pirminių skaičių lentelė:

2	97	227	367	509	661	829
3	101	229	373	521	673	839
5	103	233	379	523	677	853
7	107	239	383	541	683	857
11	109	241	389	547	691	859
13	113	251	397	557	701	863
17	127	257	401	563	709	877
19	131	263	409	569	719	881
23	137	269	419	571	727	883
29	139	271	421	577	733	887
31	149	277	431	587	739	907
37	151	281	433	593	743	911
41	157	283	439	599	751	919
43	163	293	443	601	757	929
47	167	307	449	607	761	937
53	173	311	457	613	769	941
59	179	313	461	617	773	947
61	181	317	463	619	787	953
67	191	331	467	631	797	967
71	193	337	479	641	809	971
73	197	347	487	643	811	977
79	199	349	491	647	821	983
83	211	353	499	653	823	991
89	223	359	503	659	827	997

Patogus paveikslėlis, kur aiškiai pateikta pirminių skaičių lentelė iki 1000:

Pirminių skaičių niuansai išsamiai paaiškinti šiame video:

Labiausiai ieškoma mokomoji medžiaga:

Skaičiaus kartotiniai ir mažiausias bendrasis kartotinis

Pirmiausia pradėkime nuo to, kas yra tas skaičiaus kartotinis?

Natūralusis skaičius n vadinamas natūraliojo skaičiaus m kartotiniu, jeigu tas skaičius n dalijasi iš m.

Pavyzdžiui, jeigu m=2 ir n=50, tai skaičius 50 laikomas skaičiaus 2 kartotiniu.

Jeigu reikėtų išvardinti daugiau skaičiaus 2 kartotinių, tai gautume be galo daug skaičių:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

Pasiaiškinsime kaip reikia surasti mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (sutrumpintai MBK).

Apibrėžimas būtų toks:

Dviejų natūraliųjų skaičių mažiausiu bendruoju kartotiniu vadinamas mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno tų skaičių.

Pavyzdžiai:

Raskite skaičių 6 ir 15 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (MBK).
Sprendimas:
Kai skaičiai tokie nedideli, gana nesudėtingai galime surasti, tiesiog išvardinę, tarkime, 11 mažiausių šių skaičių kartotinių:
6 kartotiniai: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...
15 kartotiniai: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...
Jau matome, kad yra vienodų ir skaičiaus 6, ir 15 kartotinių. Jie yra 30 ir 60.
Mažiausias, žinoma, yra 30.
Galime parašyti atsakymą: MBK (6,15)=30.
Raskite skaičių 264 ir 630 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (MBK).
Sprendimas:
Pirmiausia reikia pradėti nuo šių skaičių išskaidymo pirminiais dauginamaisiais. Išskaidome 264 pirminiais dauginamaisiais:

264
132
66
33
11
1 2
2
2
3
11

Tuomet išskaidome 630 pirminiais dauginamaisiais:

630
315
105
35
7
1 2
3
3
5
7

Nusirašome visus, tarkime, pirmojo skaidinio pirminius dauginamuosius. Jie yra 2, 2, 2, 3 ir 11. Po to iš antrojo skaidinio dar papildome tais pirminiais dauginamaisiais, kurių pirmajame skaidinyje dar nebuvo: 3, 5 ir 7.

Liko tik apskaičiuoti šių skaičių sandaugą: 2∙2∙2∙3∙11∙3∙5∙7=27720.

Atsakymą galime parašyti taip: MBK (264,630)=27720.

Patogus paveikslėlis, kur aiškiai pateikta teorinė dalis ir pavyzdys: Skaičiaus kartotiniai ir mažiausias bendrasis kartotinis (teorija ir pavyzdžiai)

Kas yra skaičiaus kartotiniai ir kaip randamas mažiausias bendrasis kartotinis išsamiai šiame video:

2	97	227	367	509	661	829
3	101	229	373	521	673	839
5	103	233	379	523	677	853
7	107	239	383	541	683	857
11	109	241	389	547	691	859
13	113	251	397	557	701	863
17	127	257	401	563	709	877
19	131	263	409	569	719	881
23	137	269	419	571	727	883
29	139	271	421	577	733	887
31	149	277	431	587	739	907
37	151	281	433	593	743	911
41	157	283	439	599	751	919
43	163	293	443	601	757	929
47	167	307	449	607	761	937
53	173	311	457	613	769	941
59	179	313	461	617	773	947
61	181	317	463	619	787	953
67	191	331	467	631	797	967
71	193	337	479	641	809	971
73	197	347	487	643	811	977
79	199	349	491	647	821	983
83	211	353	499	653	823	991
89	223	359	503	659	827	997

2	97	227	367	509	661	829
3	101	229	373	521	673	839
5	103	233	379	523	677	853
7	107	239	383	541	683	857
11	109	241	389	547	691	859
13	113	251	397	557	701	863
17	127	257	401	563	709	877
19	131	263	409	569	719	881
23	137	269	419	571	727	883
29	139	271	421	577	733	887
31	149	277	431	587	739	907
37	151	281	433	593	743	911
41	157	283	439	599	751	919
43	163	293	443	601	757	929
47	167	307	449	607	761	937
53	173	311	457	613	769	941
59	179	313	461	617	773	947
61	181	317	463	619	787	953
67	191	331	467	631	797	967
71	193	337	479	641	809	971
73	197	347	487	643	811	977
79	199	349	491	647	821	983
83	211	353	499	653	823	991
89	223	359	503	659	827	997

2	97	227	367	509	661	829
3	101	229	373	521	673	839
5	103	233	379	523	677	853
7	107	239	383	541	683	857
11	109	241	389	547	691	859
13	113	251	397	557	701	863
17	127	257	401	563	709	877
19	131	263	409	569	719	881
23	137	269	419	571	727	883
29	139	271	421	577	733	887
31	149	277	431	587	739	907
37	151	281	433	593	743	911
41	157	283	439	599	751	919
43	163	293	443	601	757	929
47	167	307	449	607	761	937
53	173	311	457	613	769	941
59	179	313	461	617	773	947
61	181	317	463	619	787	953
67	191	331	467	631	797	967
71	193	337	479	641	809	971
73	197	347	487	643	811	977
79	199	349	491	647	821	983
83	211	353	499	653	823	991
89	223	359	503	659	827	997