Tiesinių lygčių įvairūs pavyzdžiai su paaiškinimais

Išnagrinėsime nemažai pavyzdžių, kad spręsdami tiesines lygtis žinotumėte kaip elgtis įvairiais atvejais. Pateiksime paprastus paaiškinimus, kaip teorinės žinios pravers sprendžiant uždavinius.

Pavyzdžiai:

1. Išspręskite lygtį: x+12=13.
   Sprendimas:
   Pasinaudokime taisykle „prie abiejų lygties pusių pridėti arba atimti tą patį skaičių ar net reiškinį“. Matome, kad patogiausia būtų iš abiejų lygties pusių atimti 12. Tai ir padarykime:
   x+12=13 | – 12.
   Gausime:
   x+12 – 12=13– 12.
   Apskaičiuojame ir gauname atsakymą:
   x=1.
   Toks sprendimo būdas yra logiškas, pasinaudojant taisykle, tačiau geriausias variantas, kurį naudosime ir kituose pavyzdžiuose, būtų tiesiog pasinaudoti kita taisykle „keliant elementą į kitą lygybės pusę, pakeiskite prieš jį esantį ženklą. Iš „–“ į „+“, ir atvirkščiai iš „+“ į „–“!“, nes taip bus taupomas laikas ir uždavinį pavyks išspręsti greičiau. Todėl skaičių 12 tiesiog perkelsime į kitą lygybės pusę ir prieš jį buvusį ženklą „+“ pakeisime į „–“:
   x+12=13.
   Vietoje „+12“ gausime „– 12“:
   x=13 – 12.
   Suskaičiavus gauname iš karto atsakymą:
   x=1.
   Štai toks sprendimo būdas yra aiškiausias ir greičiausias.
   Ats.: 1.
2. Išspręskite lygtį: 2x – 3=x+4.
   Sprendimas:
   Spręsime jau aptartu būdu, naudojant taisyklę „keliant elementą į kitą lygybės pusę, pakeiskite prieš jį esantį ženklą. Iš „–“ į „+“, ir atvirkščiai iš „+“ į „–“!“. Įpraskime, kad nežinomieji patogiausia, kai yra kairėje lygybės pusėje, o skaičiai – dešinėje. Čia reikės perkelti „–3“ į dešinę lygybės pusę, o „x“ perkelti į kairę. Tai atlikus gauname:
   2x-x=4+3.
   Suskaičiavus iš karto gauname atsakymą:
   x=7.
   Ats.: 7.
3. Išspręskite lygtį: 3(x – 4)=8(x+2).
   Sprendimas:
   Čia pirmiausia reikia atsiskliausti, t. y. prieš skliaustus esantį skaičių dauginti iš kiekvieno nario esančio skliaustuose, o tik po to jau pasinaudoti perkėlimo taisykle:
   3·x – 3·4 = 8·x+8·2.
   Suskaičiavus gauname:
   3x – 12 = 8x+16.
   Dabar jau galime perkelti narius į savo puses:
   3x – 8x = 16+12.
   Suskaičiavus gauname:
   – 5x = 28.
   Čia pasinaudokime kita taisykle, kad galime „abi lygties puses dauginti arba dalyti iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus“. Dažniausiai patogiausia tiesiog padalyti iš tokio skaičiaus, kuris yra prie nežinomojo (šiuo atveju „– 5“):
   – 5x = 28|:( – 5).
   Tikslas buvo toks, kad susiprastintų skaičius esantis prie nežinomojo, kad „x“ vienas liktų kairėje lygybės pusėje:
   
   – 5x/– 5
   =
   28/– 5
   .
   Vėliau šį veiksmą praleisime, tačiau dabar viską smulkiai išsiaiškinkime. Taigi, kairėje lygybės pusėje suprastinsime „– 5“, o dešinėje – tik pasidėkime „–“ prieš visą trupmeną:
   
   – 51x/– 51
   =
   – 28/5
   .
   Kaip ir norėjome, kairėje lygybės pusėje gavome tik „x“, o dešinėje pusėje liko tik išskirti sveikąją dalį ir paversti iš netaisyklingosios trupmenos į mišriąją:
   x = – 5
   3/5
   .
   Gavome atsakymą.
   Ats.: – 5
   3/5
   .
4. Išspręskite lygtį:
   5/7
   x = 10.
   Sprendimas:
   Galime čia iš karto tiesiog pritaikyti taisyklę, kad galime „abi lygties puses dauginti arba dalyti iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus“. Dažniausiai įpraskime naudotis taisykle, jog daliname iš to skaičiaus, kuris yra prie nežinomojo, tačiau čia galima pasielgti ir kitaip, t. y. padauginti iš atvirkštinio skaičiaus, esančio prie nežinomojo. Išspręskime šį uždavinį abiem būdais.
   
   • Pirmas būdas. Abi lygties puses dalijame iš skaičiaus, esančio prie kintamojo:
     
     5/7
     x = 10 | :
     5/7
     .
     Kaip ir matėme ankstesniame pavyzdyje prie „x“ nieko nebeliks, o dešinėje pusėje atliksime veiksmus:
     x = 10 :
     5/7
     .
     Pasinaudojus dalybos keitimo į daugybą taisykle – reikės trupmeną „5/7“ apversti:
     x = 10 ·
     7/5
     .
     Dabar galime jau suprastinti ir kad būtų aiškiau suprasti skaičių „10“, galime parašyti kaip netaisyklingąją trupmeną „
     10/1
     “ ir tuomet jau iš karto suprastinti „10“ ir „5“, dalijant abu skaičius iš „5“:
     x =
     102/1
     ·
     7/51
     .
     Liko tik sudauginti pirmosios trupmenos skaitiklyje likusį skaičių „2“ su antrosios trupmenos skaitiklyje esančiu skaičiumi „7“. Vardiklyje taip pat: „1“ sudauginti su likusiu skaičiumi „1“:
     x =
     2·7/1·1
     .
     Gauname:
     x =
     14/1
     . Tai reiškia, kad atsakymas jau akivaizdus: x = 14.
   • Antras būdas. Tokiais atvejais tikrai paprasčiau ir greičiau gaunasi padauginus iš atvirkštinio skaičiaus, esančio prie nežinomojo. Šiuo atveju dauginkime iš „
     7/5
     “:
     
     5/7
     x = 10 | ·
     7/5
     .
     Prie „x“ nieko nebeliks, nes atvirkštinių skaičių sandauga lygi „1“ (
     51/71
     ·
     71/51
     = 1), o dešinėje lygybės pusėje atliksime veiksmus:
     x = 10 ·
     7/5
     .
     Čia viską gausime kaip ir sprendžiant pirmuoju būdu, todėl galime iš karto parašyti atsakymą:
     x = 14.
   Ats.: 14.

Patogus paveikslėlis, kur aiškiai pateikti pavyzdžiai apie tiesines lygtis:

Tiesinių lygčių teorija su paprastais pavyzdžiais išsamiai paaiškinta šiame video: