Tiesinės lygtys ax+b=0

Tiesinės lygties apibrėžimas būtų gana paprastas: lygybė, kurioje yra nežinomas skaičius, vadinama lygtimi.

Tiesinė lygtis bendruoju pavidalu išreiškiama:

ax+b=0.

Dabar šiek tiek kritikos ir vėliau mano patarimai.

Dažnai žemesnių klasių moksleiviai raginami prisiminti labai daug standartinių taisyklių, kaip elgtis, kai lygtyje yra sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba. Visa tai yra labai painu, kai reikia specialiai kažkokius dalykus prisiminti. Prisipažinsiu, aš iki šiol nesuprantu, kodėl taip yra daroma.

• Taip, vienas iš argumentų galėtų būti, kad kai kur susiduriame su teigiamų ir neigiamų skaičių veiksmais, kurių mokomasi vėliau, bet juos irgi galima paprastai paaiškinti arba duoti spręsti tik tokias lygtis, kur nereikia per daug į tai veltis.
• Galėtų būti ir kitas argumentas, kad mažesnių klasių moksleiviai dar nežino kaip atliekami veiksmai su trupmenomis, bet čia vėl tas pats, kad galima gi paprastai paaiškinti, kad ir su paprasčiausia dalyba arba tiesiog mažesnių klasių moksleivius mokyti spręsti tik tokias lygtis, kur a=1 (kas dažniausiai ir daroma).

Mano tokia nuomonė.

Kodėl vietoje tų begalės taisyklių, negalima visiems moksleiviams iš karto paaiškinti kelias paprastas taisykles? Tiesiog taip, kaip galima daryti.

Taikykite šias taisykles uždaviniuose ir jos lengvai bus suprantamos ir įsimenamos:

• Prie abiejų lygties pusių pridėti arba atimti tą patį skaičių ar net reiškinį;
• Abi lygties puses dauginti arba dalyti iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus.

Ir viskas. Tiek užtenka suprasti (tik nesugalvokite aklai „iškalti“) ir galite išspręsti bet kokią tiesinę lygtį. Žinoma, kai kuriais atvejais dar reikia prieš tai atlikti tam tikrus veiksmus (pavyzdžiui atskliausti, sutraukti panašius narius ir pan.).

Atsiminkite, matematikoje nereikia „apkrauti galvos“ kažkokiomis perteklinėmis standartinėmis taisyklėmis, viską reikia daryti kuo paprasčiau. Viskas turi gautis atliekant logiškus žingsnius.

Pasinaudokime aptartomis taisyklėmis ir išspręskime šią bendro pavidalo lygtį ax+b=0. Pasistenkime tai atlikti paprastai, mažais žingsniais, kad viskas būtų aišku.

Pradėkime naudodamiesi taisykle „prie abiejų lygties pusių pridėti arba atimti tą patį skaičių ar net reiškinį“. Čia reikia panaikinti kairėje lygybės pusėje „b“, todėl iš jo ir atimsime:

ax+b=0 |–b.

Gausime:

ax+b – b=0 – b.

Iš abiejų lygties pusių atėmėme b. Kai jau atliekame veiksmus gauname:

ax= – b.

Dėmesio! Čia būtina pabrėžti vieną gudrybę! Atkreipkite dėmesį į pradinę lygtį ax+b=0 ir į gautą ax=-b. Atlikus pertvarkymus, gavome, jog b atsidūrė kitoje pusėje, tik pasikeitė ženklas, todėl čia darome išvadą, kuo dažniausiai ir raginu vadovautis, nes taip taupomas laikas:

Keliant elementą į kitą lygybės pusę, pakeiskite prieš jį esantį ženklą.

Iš „–“ į „+“, ir atvirkščiai iš „+“ į „–“! Pavyzdžiuose aiškiau pamatysite, kaip tai daroma.

Tęsiame lygties sprendimą. Kadangi reikia gauti „x“, todėl pasinaudosime kita taisykle „abi lygties puses dauginti arba dalyti iš to paties nelygaus nuliui skaičiaus“. Padalysime iš to skaičiaus, kuris yra prie „x“:

ax= – b|:a.

Dažniausiai patogiau naudoti trupmenas, taip atrodo daug aiškiau, todėl užrašykime, kaip tai atrodytų vaizdžiai:

Kairėje lygybės pusėje galime a suprastinti:

Kairėje lygybės pusėje liko tik „x“. Perkeliame „–“ prieš visą trupmeną, todėl atsakymas:

Nežinomojo reikšmė, su kuria lygtis tampa teisinga skaitine lygybe, vadinama lygties sprendiniu. Kartais dar galite sutikti pavadintą lygties šaknimi.

Išsprendėme lygtį ax+b=0 ir gavome x=-b/a.

Dėmesio! Čia būtina dar išsiaiškinti keletą dalykų:

• Kai a≠0, b=0, tuomet sprendinys gaunasi x=0, nes gauname x =
  – 0/a
  .
  Pavyzdys:
  Jeigu a=5, o b=0, turime lygtį
  5·x+0=0,
  kurią išsprendus, gauname atsakymą x=0.
• Kai a=0, b≠0, tuomet sprendinių nėra, nes gauname x=-b/0, o taip būti negali, kur dalyba iš nulio negalima.
  Arba galime suprasti ir kitaip, jog lygtyje, kur b≠0 yra
  0·x+b=0
  kur turime 0·x=0 ir niekada nebus taip, kad nenulinis skaičius „b“ būtų lygus 0. Čia tiesiog reikėtų rašyti
  0·x+5≠0 ir 5≠0.
  Pavyzdys:
  Jeigu a=0, o b=3, tai turime lygtį
  0·x+3=0,
  kurią išsprendus, gauname
  3=0.
  Aiškiai suprantame, kad 3≠0, todėl kad ir kokį paimtume „x“, visada gausime tą pačią neteisingą lygybę
  3≠0.
  Todėl atsakymas: sprendinių nėra.
• Kai a=0, b=0, tuomet lygtis turi be galo daug sprendinių, nes visada gausime teisingą lygybę 0·x+0=0.
  Galime tai paaiškinti kitaip. Vietoje „x“ galime paimti bet kokį skaičių, visada gausime teisingą lygybę
  0=0.

Patogus paveikslėlis, kur aiškiai pateiktas paaiškinimas apie tiesines lygtis su paprastais pavyzdžiais:

Tiesinių lygčių teorija su paprastais pavyzdžiais išsamiai paaiškinta šiame video: